Article posted on:Sep 17, 2024
Article updated on:Sep 17, 2024
Нортон Старр
Оригінал: https://nstarr.people.amherst.edu/torus/index.html
Наведені вище малюнки показують дві сторони тора, на якому намальовано карту семи країн, кожна з яких стикається з усіма іншими шістьма. [Натисніть будь-яке зображення для збільшення.] Це демонструє, що теорема Хівуда, яка стверджує, що будь-яку карту на торі можна належним чином розфарбувати щонайбільше сімома кольорами, є найкращою. ( Припускаються розумні обмеження, такі як вимога, щоб кожна країна була з’єднана (без окремих частин, як Аляска).) Оригінальна карта семи країн, розташована таким чином, щоб обов’язково використовувати сім кольорів, була розроблена Персі Дж. Хівудом. Його симетричне зображення, показане тут, було незалежно розроблено Пітером Ангаром і Джоном Лічем. Представлену модель я зробив з гідрокаменю в 1972 році. Її зовнішній діаметр становить 9 дюймів, і вона складається з двох склеєних між собою тороїдальних половин. Кожна половина була відлита в дерев’яній формі, яку підготував для мене механічний цех кафедри фізики.
Література та зауваження
Анатоль Бек, Майкл Н. Блейхер і Дональд В. Кроу показують, як можна уявити побудову та розфарбування такого тора в Excursions into Mathematics , Worth Pub., 1969. (Дивіться кольорові малюнки на фронтисписі, на титульній сторінці). , і (еквівалентні) монохромні зображення на стор. 67.) Цю книгу було оновлено та перевидано як « Екскурсії в математику: видання тисячоліття» (м’яка обкладинка), видавництво AK Peters, Ltd., 2000 р. (Див. стор. 64.)
Сара-Марі Белкастро та Керолін Якель розробили та сконструювали виготовлення тора, що відображає сім країн, кожна з яких контактує з іншими шістьма. Значна робота, пов’язана з цією розробкою, описана в їхньому інформаційному розділі «Семиколірний тор: математично цікавий і нетривіальний для побудови» для книги, що випливає з G4G7, Homage to a Pied Puzzler , Ed Pegg Jr., Alan H. Schoen, і Том Роджерс, ред., А. К. Пітерс, серпень 2008 р. В’язана реалізація цього Yackel проілюстрована в їхній главі. Він також з’являється тут , праворуч на зображенні під назвою «Математика пончиків».
Інші гарні ілюстрації разом із деякими історіями наведені на останніх трьох сторінках HSM Coxeter, The four-color map problem, 1840-1890, The Mathematics Teacher 52 (April, 1959), 283-289.
Посібник із малювання семи областей на торі наведено на сторінці 168 « Математичних моделей» (2 -е видання), Х. Мартін Канді та А. П. Роллетт, Oxford University Press, 1961. (Більшість моїх власних кордонів було визначено, натягнута струна між парами точок на моделі, метод запропонований Джеффрі А. Вілсоном, студентом мого курсу геометрії та кінцевої математики, весна 1972 р.)
Зображення мого гіпсового тора з’являється на першій обкладинці Explorations in Topology: Map Coloring, Surfaces, and Knots , David Gay, Elsevier, 2007.
Сьюзан Голдстайн (Амхерстський коледж, 1993) демонструє на своєму сайті різноманітність семи кольорів карт на незвичайних торах разом із шаблоном і вказівками для побудови. Вона також на с. 113 її розділу «Гаманець Фортунатуса в створенні математики за допомогою рукоділля» , Сара-Марі Белкастро та Керолін Яккель, ред., AK Peters, Ltd., 2008.
Першу відому конструкцію карти із семи областей на торі, кожна з яких контактує з іншими шести, дав Персі Дж. Хівуд, піонер у вивченні розфарбовування карт. Див. його теорему кольору карти, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 24 (1890), 332-338. Більш доступне зображення цієї карти показано на стор. 114 теорії графів 1736-1936 , Н. Л. Біггс, Е. К. Ллойд і Р. Дж. Вілсон, Оксфордський університет. пр., 1976.
Коксетер (цит. цит.) приписує симетричне зображення семи областей на торі, зображеному вище, Джону Лічу в 1953 році. Див. John Leech, Seven Region Maps on a Torus, The Mathematical Gazette , 39 , № 328 (травень, 1955) , 102-105.
Ліч визнає (виноска, стор. 103) суттєву еквівалентність своєї схеми до схеми в Peter Ungar, On Diagrams Representing Maps, Journal of the London Mathematical Society , 28 (1953), 336-342. У свою чергу, Унґар визнає ще не опублікований подібний розтин Ліча (виноска, стор. 342).
