Схили єгипетських пірамід

Оригінал: https://sites.math.washington.edu/~greenber/pyressay.html

Велика піраміда Хуфу була популярним предметом спекуляцій протягом століть. Як вона була побудована? Хто її збудував? Скільки їй років? Яке значення мають її розміри, форма, орієнтація відносно інших пірамід у Гізі? Яке було її призначення? Ці та інші теми обговорюються в багатьох книгах і на багатьох веб-сайтах. (Перевірте тут колекцію посилань і джерел, які варіюються від серйозних наукових досліджень до досить абсурдних та вигаданих фантазій.) Зокрема, у цій літературі можна знайти обширні дані про розміри Великої піраміди та її різноманітних камер і проходів, а також усі важливі кути в цій структурі. Як не дивно, можна знайти набагато менше припущень, а також менше даних щодо інших великих пірамід в Єгипті. Деякі з цих інших пірамід все ще стоять: Ступінчаста Піраміда Джосера в Саккарі, Зігнута Піраміда і Червона Піраміда Снеферу в Дахшурі, а також піраміди Хефрена і Менкаура в Гізі. За винятком Ступінчастої Піраміди Джосера, ці піраміди, а також піраміда Хуфу були побудовані під час 4-ї династії протягом лише одного століття. Всі вони мають форму справжньої піраміди, але деталі їх конструкції дещо відрізняються. Навіть нахили їхніх граней відрізняються. І це тема цієї сторінки.

Вперше я дізнався про запитання та припущення щодо форми Великої піраміди Хуфу, коли читав книгу А. Почана «Таємниці Великої Піраміди». Там можна знайти довге обговорення зв’язку нахилу граней піраміди з числом pi та інше відоме співвідношення, пов’язане з числом phi. Почан також згадує той факт, що нахил кожної грані піраміди дуже близький до 14/11 і що нахил кожного краю дуже близький до 9/10. Він усвідомлює, що такий звʼязок може бути випадковим, і не сприймає як належне (як, здається, деякі інші автори), що цей звʼязок відображає справжні наміри архітекторів, які брали участь у проектуванні та будівництві Великої піраміди. Будь-яке з цих співвідношень визначатиме форму піраміди (припускаючи, що основа — квадрат, а грані — рівнобедрені трикутники). Отже, якщо архітектор вирішив спроектувати піраміду на основі зв’язку, що включає pi (наприклад), тоді зв’язки, що включають phi або 9/10 або 14/11, також будуть показані в отриманій піраміді з високим рівнем точності. Це було б так, незалежно від того, цікавився чи усвідомлював архітектор, що є інші зв’язки чи ні.

Коли я вперше прочитав обговорення Почаном різних співвідношень, той, що включає 9/10 (як нахил ребер), здався мені найбільш переконливим з наступної причини. Одним із багатьох завдань для будівельників пірамід було побудувати споруду, яка красиво й точно піднімається до своєї вершини. У силуеті піраміди переважають її ребра. Мабуть, для будівельників було надзвичайно важливо, щоб ці краї були побудовані якомога пряміше. Таким чином, розміщуючи зовнішні блоки кожного ряду, було б логічним спочатку ретельно розташувати кутові блоки, а потім заповнити решту зовнішніх блоків цього курсу. Якщо нахил (або зворотний нахил) ребер вибрано простим раціональним числом, тоді буде легше знайти правильну позицію для цих кутових блоків.

Однак Почан також обговорює вправи в папірусі Рінда, які стосуються обчислень із залученням «секеда» піраміди. Там можна дізнатися, що єгиптяни представляли секед (який є лише зворотним нахилом кожної грані) як певну кількість долонь і пальців горизонтальної відстані на лікоть вертикальної відстані. Цю документацію слід розглядати як важливу підказку. Здавалося б, зв’язок, що включає 14/11 (як нахил граней), є досить переконливим, оскільки це еквівалентно досить простому значенню для секеда: п’ять долонь, два пальці на лікоть. Крім того, як зазначає Похан, грані готової піраміди були б гладкими (такими, як все ще можна побачити у верхній частині піраміди Хефрена). Щоб досягти цього ефекту, майстрам потрібно було точно вирізати багато зовнішніх блоків. Ці блоки потрібно було б розрізати, щоб мати той самий кут нахилу, що й грані.

Більшість вчених, які розглядали це питання, схоже, вірять у теорію, запропоновану вправами в папірусі Рейнда. Тобто архітектори, які проектували піраміди, вибрали кут нахилу граней, просто вказавши, що секед дорівнює п’яти долоням + 0, 1, 2 або 3 пальці на лікоть. Наприклад, стаття Г. Робінса і К. Шута «Математичні основи давньоєгипетської архітектури і графіки» («Historia Mathematica», травень 1985 р.) присвячує кілька сторінок аргументації на користь цієї теорії. Це підтверджується вимірюваннями багатьох пірамід, які все ще стоять, але не всіх. Коли я досліджував нахили країв різних пірамід, я прийшов до іншої теорії: архітектори, які проектували піраміди, можливо, вибрали нахил кожного краю простим раціональним числом. Виявляється, я був не першим, хто це запропонував. Пізніше я дізнався, що подібну ідею також запропонував раніше (приблизно в 1960 році) єгиптолог Жан-Філіп Лауер.

Точніше кажучи, теорія, яку я запропонував (самому собі), полягала в тому, що архітектори проектували свої проекти пірамід так, що зворотний нахил ребер був би раціональним числом у формі 1+1/n для деякого значення n. Як я поясню нижче, такі числа здавалися б природним вибором з двох причин: (1) їх можна дуже просто виразити в єгипетській нотації чисел. (2) Урок, отриманий під час побудови зігнутої піраміди, міг змусити архітекторів вибрати число більше 1 для зворотного нахилу кожного ребра. Моя теорія також разюче підтверджується вимірюваннями стоячих пірамід.

Я переконався, що обидві ці паралельні теорії частково правильні. Вони являють собою два підходи до вибору форми пірамід, і обидва могли бути використані. Для кожного проекту піраміди архітектори могли вказати зворотний нахил граней або ребер, а потім обчислити інший зворотний нахил. Оскільки два підходи включають різні способи визначення зворотного нахилу, вони, можливо, зіграли різну роль у конструкції. Наприклад, можна уявити, як будівельники використовують зворотний нахил ребер для точного побудови кутових секцій піраміди (можливо, багато рядів одночасно). Для цього також необхідно точно визначити діагональні лінії піраміди. Блоки, що залишилися для цих курсів, можуть бути заповнені. Зворотний нахил граней (тобто секед) може бути використаний для цієї мети, а також для остаточного згладжування зовнішньої поверхні. Останнім етапом буде точне різання блоків обсадної труби.

Я обговорюватиму кожну теорію на основі даних із «Повних пірамід» Марка Ленера, зосереджуючись на пірамідах, побудованих під час 4-ї династії. Багато аспектів будівництва цих пірамід відрізняються, і це, схоже, стосується й способу вибору схилів. Принаймні одна з двох теорій дуже добре збігається з даними для кожної з цих пірамід, і це може відображати наміри їх архітекторів. Щодо Великої піраміди Хуфу обидві теорії збігаються з даними. Тобто секед цієї піраміди близький до п’яти долонь, двох пальців, а зворотний нахил кожного краю близький до 1+1/9, обидва з дуже вражаючою точністю. Спокусливо вірити, що архітектор цієї піраміди цілком усвідомлював, що один із цих зв’язків призведе до іншого. Дійсно, це могло зробити вибір п’яти долонь і двох пальців для секеда Великої піраміди особливо привабливим. Однак я не бачу жодних причин вважати, що архітектор знав про зв’язки між pi та phi. Вони обговорюються в моєму есе «Пі та Велика Піраміда»).

Книга Ленера дає кути нахилу для граней різних пірамід, а також висоту та довжину сторін. Тоді досить легко обчислити кут нахилу ребер і відповідний нахил, або зворотний нахил. У наведеній нижче таблиці підсумовано ці дані. Є два записи для зігнутої піраміди, що відповідають нижній частині та верхній частині. Подвійні записи для піраміди Менкаура відображають той факт, що основа не є квадратною.

У збережених єгипетських математичних папірусах (таких як папірус Рейнда) можна дізнатися багато речей про єгипетську математику. Одна вражаюча річ полягає в тому, що їхнє позначення чисел значно відрізняється від сучасного позначення. Єдині числа, які можна знайти, — це раціональні числа, і вони майже завжди виражаються як ціле число плюс сума одиничних дробів з різними знаменниками (тобто дроби з чисельником, що дорівнює 1). Наприклад, раціональне число 3/5 буде виражено як 1/3 + 1/5 + 1/15. У папірусі Рейнда можна знайти таблицю ділення 2 на всі непарні числа від 3 до 101. Відповіді завжди даються в одиничних частках. Наприклад, відповідь на 2, поділене на 5, надається як 1/3 + 1/15, а 2, поділене на 13, надається як 1/8 + 1/52 + 1/104. (Звичайно, ці вирази будуть записані єгипетськими літерами, а не арабськими цифрами, як тут.) Число на кшталт 10/9 (яке є дуже хорошим наближенням до зворотного нахилу країв Великої піраміди) буде виражено цілком просто як 1 + 1/9. Однак 11/9 матиме більш складний вираз: 1 + 1/6 + 1/18. Число 11/14 (яке є приблизним зворотним нахилом граней Великої піраміди) буде записано як 1/2 + 1/4 + 1/28. Якби архітектор хотів вибрати число більше за 1, але все ж близьке до 1, цілком природним було б число у вигляді 1+1/n.

Тепер поговорімо про різні піраміди.

ЗІГНУТА ПІРАМІДА: грані нижньої частини цієї піраміди утворюють кут 54º 27'44" від горизонталі. Але грані верхньої частини утворюють набагато менший кут 43º 22'. Зворотний нахил грані для нижньої частини дорівнюють 0,714288. Для верхньої частини зворотний нахил стрибає до 1,058703. Коли обчислюється зворотний нахил для країв, можна знайти 1,010156 для нижньої частини, 1,497233 для верхньої частини. Ці числа можуть свідчити про що намір архітектора полягав у наступному: зворотний нахил кожного краю нижньої частини мав дорівнювати 1. Це відповідає куту 45º для кожного краю. Що може бути простішим? Але потім, з якоїсь причини, зворотний нахил країв верхньої частини було збільшено до 3/2 (тобто 1+1/2).

Насправді я був дуже схвильований, коли помітив, що грані зігнутої піраміди мають такі прості схили (спостереження, яке Дж.П. Лауер зробив приблизно 40 років тому). Варто було б зробити більш точні вимірювання зігнутої піраміди за допомогою сучасних технологій. Я спирався на дані з книги Марка Ленера. Виходячи з цих даних, зворотний нахил краю нижньої частини трохи перевищує 1, але відхилений приблизно на 1%. Але інші посилання, з якими я ознайомився, дають дещо інший кут для граней нижньої частини і, отже, для країв. Виходячи з одного джерела, кут для кожного краю виявляється ще ближчим до 45 o, але все ж трохи менше. Згідно з іншим джерелом, цей кут виявляється трохи більшим за 45 o. Крім того, ці вимірювання дають лише середній нахил. Безсумнівно, нахил країв не є постійним, тому вимірювання варіації може надати корисні дані. На жаль, стан цієї піраміди ускладнить проведення таких вимірювань.

Ще одна очевидна проблема полягає в тому, що незрозуміло, якого рівня точності можна очікувати від єгипетських будівельників. Цей рівень точності, безсумнівно, покращився б протягом століття будівництва пірамід. Можна було б припустити, що будівельники зроблять якесь просте пристосування, щоб рівномірно досягти потрібного ухилу або для країв, або для грані. Такий пристрій пропонує Пітер Ходжес у своїй книзі «Як будували піраміди». Пристрій являє собою помірно великий прямокутний трикутник, виготовлений з дерева - те, що міг тримати один або два робітники. Гіпотенуза повинна мати бажаний нахил відносно горизонталі, якщо один із двох катетів прямокутного трикутника тримається абсолютно вертикально. Пристрій має схил, прикріплений до цієї ніжки, щоб працівники могли визначити, коли він вертикальний. Припущення Ходжеса виглядає цілком достовірним, оскільки відомо, що єгиптяни дійсно використовували схили. Такий пристрій дозволить підтримувати фіксований схил, навіть якщо висота блоків, які використовуються для різних трас, може значно відрізнятися. (Для Великої піраміди існують значні коливання від шляху до шляху.)

Щоб отримати секед для нижньої частини зігнутої піраміди, потрібно просто помножити зворотний нахил, знайдений у наведеній вище таблиці, на 7. Результат дорівнює майже точно 5. Тобто, згідно з даними Ленера, нижня частина має секед п'ять пальм (на лікоть). Це справді є дуже сильною підтримкою загальноприйнятої теорії. Це свідчить про те, що той факт, що кожне ребро має нахил (або зворотний нахил), приблизно рівний 1, є випадковістю, як би мило не здавалося. Однак верхня частина не узгоджується з загальноприйнятою теорією. Секед верхньої частини не можна виразити просто долонями та пальцями. І тому можна уявити, що архітектор перейшов від вибору 5/7 (п’ять пальм/лікоть) для зворотного нахилу кожної грані для нижньої частини до альтернативного методу вибору простого зворотного нахилу для країв верхньої частини. порція, а саме 1+1/2. Виходячи з даних із книги Ленера, це виявляється досить точним. Обернений нахил відрізняється від 1+1/2 приблизно на 0,2%.

Існують також теорії про те, чому зігнута піраміда має свою особливу форму. Одну достовірну теорію запропонував Курт Мендельсон у своїй чудовій книзі «Загадка пірамід». Він припускає, що в той час, коли вигнута піраміда була в процесі будівництва, інша піраміда – та, що в Мейдумі, яка, можливо, також мала досить крутий схил – зруйнувалася. З цієї причини або, можливо, з кількох інших причин, які були запропоновані, архітектор прийняв рішення різко зменшити нахил піраміди. Збільшення зворотного нахилу кожного ребра від 1 до 1+1/2 досягне цього. Усі піраміди 4-ї династії, які були побудовані пізніше, менш круті, ніж нижня частина зігнутої піраміди. Відповідно, ребра мають зворотний нахил, який перевищує 1.

ЧЕРВОНА ПІРАМІДА: Кут нахилу граней становить лише 43 o 22'. Це відповідає встановленню зворотного нахилу ребер як 1,497253, що є таким самим, як верхня частина зігнутої піраміди. Тоді зворотний нахил кожного ребра буде досить близьким до 1+1/2. Тип трикутного пристрою, запропонований Ходжесом, можна було легко побудувати з високим ступенем точності для цього значення зворотного нахилу. Як зазначалося вище для верхньої частини зігнутої піраміди, секед для цієї піраміди не має простого значення в термінах долонь і пальців (на лікоть).

ВЕЛИКА ПІРАМІДА ХУФУ: Як уже згадувалося, зворотний нахил кожного ребра дуже близький до 1+1/9. Але секед цієї піраміди також досить простий. Це п'ять долонь, два пальці/лікоть. Тобто зворотний нахил кожної грані надзвичайно близький до 5,5/7=11/14. Обидві теорії, здається, справедливі для Великої піраміди. Я підозрюю, що архітектор це добре усвідомлював і вибрав секедом п’ять долонь, два пальці, знаючи, що зворотний нахил країв також виявиться досить простим. (Можливо, все було навпаки.)

ПІРАМІДА ХЕФРЕНА: кут, який кожна грань цієї піраміди утворює з її основою, становить 53º 10'. Зворотний нахил кожного ребра дорівнює 1,059250. Це число дорівнює приблизно 1+1/17 (з точністю приблизно 0,04%). Зворотний нахил кожної грані цієї піраміди дорівнює приблизно 3/4. Секед — це 5 долонь, один палець/лікоть. Але, виходячи з даних Ленера, точність далеко не така хороша, як для Великої піраміди. (Це з точністю приблизно 0,13%.)

ПІРАМІДА МЕНКАУРА: це остання і найменша з трьох великих пірамід у Гізі. Цікаво відзначити, що, згідно з книгою Ленера, основа цієї піраміди не є квадратом. Він прямокутний і має більш ніж двометрову різницю в довжині найдовшої і найкоротшої сторін. Спочатку, коли я обчислив зворотний нахил кожного ребра, він виявився приблизно рівним 1+1/8, але не з високою точністю. Однак я припустив, що основа — квадрат. Коли я дізнався, що основа не квадрат, я знову обчислив зворотний нахил кожного ребра і виявив, що він справді дуже близький до 1+1/8. Таким чином, ця піраміда є обнадійливим підтвердженням моєї теорії. Оскільки основа не квадрат, то похилі грані не рівні. Одна пара граней має зворотний нахил, дуже близький до граней Великої піраміди Хуфу. Тобто секед був би близький до п’яти долонь, двох пальців/лікоть. Але інша пара облич має секед, який неможливо виразити просто долонями та пальцями.

АВТОРСЬКЕ ПРАВО © 2000 РАЛЬФ ГРІНБЕРГ

Сторінка Великої піраміди Гізи